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DEUTSCHER   SKATVERBAND

HERAUSGEBER:   DEUTSCHER  SKATVERBAND   -   SITZ  BIELEFELD
GEGRÜNDET   1899  IN  DER   SKATSTADT ALTENBURG (THÜRINGEN)

3. Jahrgang                            März 1958                                            Nummer 3

Die mathematische Seite des Skatspiels

Das Skatspiel ist das am meisten gepflegte Kartenspiel der Deutschen.

 Den Reiz hierzu gibt die Mannigfaltigkeit der Spiele (Farbspiele, Grands und Nullspiele) sowie die Mannigfaltigkeit der Kartenverteilung innerhalb der drei Spieler und des Skats. Es wird daher wohl auch kaum einen Skatspieler geben, der, wenn er noch so oft spielt, zu einem zweiten Male dieselben Karten wie einmal schon zuvor bekommt; und wenn er sie schon bekäme, dann könnte er sich gewiss nicht erinnern, dass oder gar wann und wo er dieselben Karten schon einmal in der Hand hatte.

 Wir wollen uns nun im folgenden von den verschiedenen Mannigfaltigkeiten ein Bild machen und Zahlen zu uns reden lassen.

 Die 32 Blätter eines Skatspiels können übereinander, das heißt z. B.

unmittelbar vor dem Verteilen in
263130 836 933 693530167 218 012160 000 000 - facher Weise

übereinander liegen, oder etwas kürzer geschrieben:

 1x2x3.......31x32 = 32!

 Das ist also eine Zahl, die gegenüber den Inflationszahlen noch mehr als ein Riese ist. Sie wird ausgesprochen:

263130 Quintillionen 836 933 Quadrillionen 693 530 Trillionen
167 218 Billionen 012160 Millionen.

Die Zahl sagt uns aber noch nichts. Wollen wir uns ein richtiges Bild davon machen, so müssen wir vorstellbare Vergleiche ziehen. Besäße man z. B. soviel Pfennige und würde diese in Rollenform übereinander legen, dann käme man damit etwa 100 Trillionen mal bis zur Sonne, die von uns 150 Millionen km entfernt ist, oder, um diese aufzubewahren, brauchte man etwa 1 Milliarde leere Erdkugeln.

 Dass diese Zahl stimmt, davon kann sich jeder, wenn auch nicht praktisch, leicht überzeugen:

Das unterste Blatt kann jedes der 32 verschiedenen Blätter des Skatspiels sein (von Karo-Sieben bis Kreuz-As), das darauf liegende kann nun aber nur noch eins von den 31 übrig bleibenden Karten sein, das folgende nur noch eins von den 30 bleibenden, und, bis schließlich das letzte übrig bleibende Blatt obenauf zu liegen kommt, also insgesamt

32 * 31 * 30 * 29 .......... * 3 * 2 * 1 Möglichkeiten,

die Zahl schreibt man kurz 32! (ge­lesen 32 Fakultät).

 Man kann sich auch anders helfen:

1 Blatt kann nur in einer Reihenfolge liegen,

 2 Blätter können liegen entweder 1, 2 oder 2, 1,

weiter können

2 Blätter liegen 1 2 3, 1 3 2, 2 1 3, 2 3 1, 3 1 2, 3 2 1,

 das sind 6 Mög­lichkeiten oder 1 * 2 * 3 = 3!

usw.;

die 32 Blätter können also 32!mal ver­schieden übereinander liegen.

 Die Berechnung der Zahl kann nun stufenweise vorgenommen werden:

 1 x 2 = 2 x 3 = 6 x 4 = 24 usw.,

 das scheint anfangs ziemlich leicht, wird aber, bald Ungemütlich.

Von oben her geht es gleich unangenehm los:

 32 x 31 = 992 x 30 = 29 760 x 29 usw.

 Man kann sich die Rechnung etwas erleichtern, und  kommt damit bequem mit einem DIN - A 4 Blatt aus, indem man die Zahlen in Primzahlfaktoren zerlegt und dann wieder zu bequemen Faktoren zusammenfasst:

32! = 1 * 2 * 3 * 2 * 2 * 5 * 2 * 3 * 7 * 2 * 2 * 2 * 3 * 3 * 2 * 5

* 11 * 2 * 2 * 3 * 13 * 2 * 7 * 3 * 5 * 2 * 2 * 2 * 2 * 17 * 2 * 3 * 3 * 19 * 2 * 2 * 5

* 3 * 7 * 2 * 11 * 2 * 3 * 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 5 * 2 * 13 * 3 * 3 * 3 * 2 * 2 * 7 * 29

* 2 * 3 * 5 * 31 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2

= 2 31 * 314 * 57 * 74 * 112 * 132 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31

 = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 10 * 1024 * 1024 *

8 * 81 * 81 * 243 * 102 * 49 * 1001 * 1001 * 899 * 19 * 23.

Nun rechnet man:

81 * 81

 6.561 * 243

 1.594.323 * 8

 12.754.584 * 19

 242.337.096 * 23

 557.375 x 3.208 * (5.000 - 2)

 27.857.618.533.584 * (1.000 - 101)

 25.071.856.680.225.600 – 27.857.618.533.584

 25.043.999.061.692.016 x 1.024

 645.055.039.172. 624.384 x 1.024

 260.536.360.112.767.369.216 x 1.001

26.286.796.896.472.880.136.585.216 x 1.001 x 10.000.000

263.130.836.933.693.530.167.218.012.160.000.000

 Nach  der Verteilung hat  doch jeder der  3 Skatspieler  10 Karten, wie viel mal verschieden können diese aussehen?

 Antwort:

32 * 31 * 30 * 29 * 28 * 27 * 26 * 25 * 24 * 23 : 10! = 64.512.240 mal

 Diese Zahl ist gegenüber der 36stelligen ein Zwerg, und doch müsste ein Spieler mindestens100 Jahre dauernd spielen, ehe er alle möglichen Verteilungen einmal in der Hand gehabt hat.

 Man kann sich auch hier leicht überzeugen.

 Das erste Blatt kann eins der 32 sein,

das zweite eins der 31 übrigen, usw.,  das zehnte kann eins der 23 bleibenden sein, also vorläufig 32 x 31...................24 x 23.

 Diese Zahl ist aber zu hoch, da hier die Reihenfolge der 10 Blätter festgelegt ist, die 10 Blätter können aber noch in 10! anderer Reihenfolge liegen,

also 32 x 31............24 x 23 : 10! =  32/10  (gelesen: 32 über 10).

 Hier kann man sich die Ausrechnung etwas erleichtern:

(32) x 31 x (30) x 29 x (28) x (27) x 26 x (|) x 24 x 23

= 899x104x690

1 x (2) x (3) x (4) x (5) x (6) x (7)~x (8) x (9) x (10)

= 64 512 240

Hierbei sind die Verteilungen der anderen Karten (die 2 x 10 Karten der 2 Mitspieler und der Skat) noch ganz außer acht gelassen. Wie viel verschie­dene Verteilungen der 32 Karten innerhalb der 3 Spieler und des Skates gibt es nun ?

Antwort: 2 753 294 408 504 640 oder 321(10!) * 32!  = (3210)  (2210)  (1210)  (22)

 

Die ersten 10 Karten (Vorhand) können ( 3210 ) mal verschieden sein,

die zweiten 10 Karten (Mittelhand) dann noch ( 2210 ) mal,

die dritten 10 Karten ( Hinterhand ) dann nur noch ( 1210 ) mal

und der Skat dann bestimmt ( 22) — ( 1*21*2 ) = 1, d. h.,

 dann gibt es nur noch eine Möglichkeit für den Skat.

 Eine neue Frage tritt hier nebenbei mit auf.
Wie verschieden kann eigentlich der Skat aussehen?

 Antwort:  32*311*2 = 322= 496 mal verschieden.

 Für einen Mitspieler, der also schon 10 Karten in der Hand hat,
kann er jedoch nur noch ( 222) = 232 mal verschieden sein.

Nachdem wir uns bisher nur den allgemeinen Verteilungen der 32 Kartenblätter zugewendet haben, wollen wir im folgenden auf das Skatspiel selbst etwas näher eingehen. Zuerst soll das im Skatspiel seltenste Spiel, der Grand ouvert, die Perle des Skatspiels, betrachtet werden.

 Nicht jedem Skatspieler ist es vergönnt, .einen solchen einmal in seinem Leben zu spielen; und wiederum kommt es vor, dass ein Spieler mehrere solcher Spiele führen darf. Man kann sich nun fragen, wie viele Verteilungen von den 64 512240 die bei 10 Karten möglich sind, sind Grand ouverts?

 
Diese Frage soll beantwortet werden, wenn auch hier die Berechnung nicht
streng mit mathematischen Formeln vorgenommen werden kann. Die Voraussetzung für ein solches, d. h. unverlierbares (diese sollen nur betrachtet werden), sind mindestens 2 Buben. Ferner ist klar, dass nur in Vorhand solche mit 2 Buben immer gewonnen werden müssen.

 Ähnlich steht es bei 3 Buben, nur bei den einfarbigen gibt es hier Ausnahmen, also 3 Buben und 1 ganze Farbe (von As bis 7). Da gibt es für Hinterhand noch 12 und für Mittelhand noch 8 mögliche Grand ouverts, die unbedingt ge­wonnen werden müssen. Da die Zahlen sehr klein sind, so können wir uns die Mühe machen und sie einmal auflegen:

 Für Mittelhand:

a B, b B, c B,

1) 7 x Karo,

2) 7 x Pik,

3) 7 x Herz,

4) 7 x Kreuz,

 

a B, b B, d B,

5) 7 x Karo,

6) 7 x Pik,

7) 7 x Herz,

8) 7 x Kreuz

Für Hinterhand kommt noch hinzu:

a B, c B, d B,

9) 7 x Karo,

10) 7xPik,

11) 7xHerz,

12) 7x Kreuz.

 Wir sehen also hierbei schon, dass die Anzahl der stets gewinnbaren Grand ouverts abhängig ist von Vor-, Mittel- und Hinterhand, und dass diese Anzahl ferner für Hinterhand um 4 grösser ist als bei Mittelhand und für Vorhand noch grösser, da dieser schon mit 2 Buben einen solchen spielen kann, Nun will ich die entsprechenden Zahlen nennen:

 Vorhand 2707 — Mittelhand 292 — Hinterhand 296.

 Das Gesicht eines Grand ouverts kann also für Vorderhand 2707 mal verschieden sein für Mittelhand 292 mal und für Hinterhand 296 mal.

Eine Zeitung, die alle 8 Tage eine Skatecke enthält, kann also 52 Jahre lang jede Woche einen anderen Grand ouvert, der in Vorhand gewonnen, werden muss, abbilden, für Mittel- und Hinterhand dagegen nur 5 ½  Jahre.

 

Die 292 Grand ouverts, die auch Mittelhand immer gewinnen muss, wollen wir Universalgrand ouverts nennen, von diesen sind 284 Stück mit 4, 4 Stück mit 3 und 4 Stück mit 2 Matadoren (Spitzen).

Die  Wahrscheinlichkeit,  dass Vorhand  einen  Grand ouvert  erhält,

ist also 2.707/64.512.240 = 1/24.000 ,

für Hinterhand und Mittelhand ist die Wahrscheinlichkeit 1/220.000.

 Um uns ein Bild von diesen Wahrscheinlichkeiten zu machen, bedienen wir uns der Lotterie. Als Vergleich soll eine Landeslotterie dienen.

 Eine ganze Lotterie wird nun mit einem Spiel verglichen.  Für Mittelhand und Hinter­hand ist nun vor jedem Spiel die Wahrscheinlichkeit noch nicht ganz so groß als mit einem Los, das jeder von ihnen spielt, den Hauptgewinn in der Lotterie zu machen.

 

Für Vorhand ist diese Wahrscheinlichkeit, einen Grand ouvert zu erhalten, etwa 6 —7 mal grösser, als mit einem Los den Hauptgewinn zu, erhalten. Denselben Gedankengang wollen wir jetzt auf das schon etwas häufiger vorkommende unverlierbare Null ouvert Hand ausführen. Es stellt sich nun heraus, dass hier Vorhand etwas benachteiligt ist, da er ja anspielen muss!

 Es heisst immer: 7, 8, Bube, da kann man immer drunter,
aber beim Anspielen! — — —

 Die entsprechenden Zahlen sind hier folgendermassen:
Für Vorhand 40.438, für Mittel- und Hinterhand je 46.864.

Die  Wahrscheinlichkeiten liegen hier  für Vorhand 1/1.600,

für Mittel-  und Hinterhand je 1/1.400.

 Wenn man nun die Wahrscheinlichkeiten der Grand ouverts addiert und dieselben der Null ouverts addiert und beide vergleicht, so kann man folgern, dass durchschnittlich ein Null ouvert Hand ca. 40 mal öfter am Spieltische vorkommt als ein Grand ouvert.

Wir wollen nun einen weiteren Vergleich zwischen den beiden anstellen, und  wollen wir jetzt Tabellen zu uns reden lassen:

Der Grand ouvert

Vorhand

Mittelhand

Hinterhand

4
Buben

3
Bube n

2
Buben

4
Buben

3
Buben

4
Buben

3
Buben

1 farbig

24

12

36

24

8

32

24

12

36

2 farbig

174

720

300

1194

174

174

174

174

3 farbig

76

720

468

1264

76

76

76

76

4 farbig

10

96

107

213

10

10

10

10

Summe

284

1548

875

284

8

284

12



                2707                                      292                              296

Das Null ouvert Hand

Vorhand

Mittel- und Hinterhand

Vert.

2
färb.

Vert.

3
färb.

Vert.

4 färb.

Vert.

2
färb.

Vert.

3
färb.

Vert.

4 färb.

8:2

12

8:1:1

12

7:1:1:1

28

8:2

24

8:1:1

12

7:1:1:1

28

7:3

168

7:2:1

336

6:2:1:1

480

7:3

420

7:2:1

336

6:2:1:1

480

6:4

1.200

6:3:1

2.400

5:3:1:1

1.680

6:4

3.360

6:3:1

2.400

5:3:1:1

1.680

5:5

1.152

6:2:2

720

5:2:2:1

1.344

5:5

4.704

6:2:2

960

5:2:2:1

1.344

12.688

5:4:1

9.408

4:4:1:1

1.176

5:4:1

9.408

4:4:1:1

1.176

5:3:2

5.856

4:3:2:1

3.360

5:3:2

6.720

4:3:2:1

3.360

4:4:2

3.732

4:2:2:2

412

4:4:2

4.704

4:2:2:2

448

4:3:3

3.228

3:3:3:1

500

4:3:3

4.200

3:3:3:1

500

3:3:2:2

546

3:3:2:2

600

5.220

25.692

9.526

8.508

28.740

9.616



  40.438                                                                46.864

Wir hatten schon durch Rechnung festgestellt, dass die 10 Karten

eines Skatspielers 64.512.240 mal verschieden aussehen können.

 Beurteilen wir jetzt die 64.512.240 verschiedenen Verteilungen nach den 4 Farben ohne Berücksichtigung der Buben, so können diese entweder 2 farbig, 3 farbig oder 4 farbig sein.

 Wie viel von diesen Verteilungen sind nun 2 farbig, wie viele 3 farbig, wie viele 4 farbig ?

 Das soll unsere nächste Fragestellung sein.

 Aus Erfahrung wird jeder Skatspieler wissen, dass die 4 farbigen natürlich die häufigsten sind und die 2 farbigen die seltensten.

Wir wollen hier auch gleich Tabellen zu uns reden lassen.

2 farbig

3 farbig

4 farbig

Verteilung der

Anzahl der

Verteilung der

Anzahl der

Verteilung der

Anzahl der

Farben

Verteilungen

Farben

Verteilungen

Farben

Verteilungen

8 : 2

336

8 : 1 : 1

768

7 : 1 : 1 : 1

16.384

7 : 3

5.376

7 : 2 : 1

43.008

6 : 2 : 1 : 1

602.112

6 : 4

23.520

6 : 3 : 1

301.056

5 : 3 : 1 : 1

2.408.448

5 : 5

18.816

6 : 2 : 2

263.424

5 : 2 : 2 : 1

4.214.784

5 : 4 : 1

752.640

4 : 4 : 1 : 1

1.881.600

5 : 3 : 2

2.107.392

4 : 3 : 2 : 1

21.073.920

4 : 4 : 2

1.646.400

4 : 2 : 2 : 2

6.146.560

4 : 3 : 3

2.634.240

3 : 3 : 3 : 1

5.619.712

3 : 3 : 2 : 2

14.751.744

 2 farbig

48.048

3 farbig

7.748.928

4 farbig

56.715.264

Man sieht also daraus, wie verhältnismäßig sehr selten die 2 farbigen Ver­teilungen sind.

 Die Verhältniszahlen sind etwa

1 : 160 : 1200

 Diese rein Farben mäßige Beurteilung (mit Einreihung der Buben) wäre aber im Skat­spiel nur für Nullspiele von Interesse und Bedeutung.

 Will man aber über die anderen Spiele (Farbspiele und Grands) einen Überblick gewinnen, so muss man den Buben eine Sonderstellung einräumen.

 Hierbei können dann auftreten Verteilungen mit 0, 1, 2, 3 oder 4 Buben, die entweder 4, 3. 2 oder 1 farbig sein können, wie die nachstehende Tabelle es uns mit ihren Zahlen so anschaulich zeigt.

 A. d. V.= Anzahl der Verteilung
V. d. F.= Verteilung der Farben

0 Buben

1 Bube

2 Buben

3 Buben

4 Buben

V.

A.

V.

A.

V.

A.

V.

A.

V.

A.

d.

d.

d.

d.

d.

d.

d.

d.

d.

d.

F.

V.

F.

V.

F.

V.

F.

V.

F.

V.

1
Farbig

7

16

6

28

2
Farbig

7 : 3

420

7 : 2

1.008

7 : 1

504

6 : 1

2352

5 : 1

1764

6 : 4

2.940

6 : 3

11.760

6 : 2

10.584

5 : 2

21168

4 : 2

8820

5 : 5

2.646

5 : 4

35.280

5 : 3

52.920

4 : 3

58800

3 : 3

7350

4 : 4

44.100

3
Farbig

7 : 2 : 1

3.528

7 : 1 : 1

2.352

6 : 1 : 1

24.696

5 : 1 : 1

49.392

4 : 1 : 1

20.580

6 : 3 : 1

41.160

6 : 2 : 1

98.784

5 : 2 : 1

444.528

4 : 2 : 1

493.920

3 : 2 :1

123.480

6 : 2 : 2

37.044

5 : 3 : 1

493.920

4 : 3 : 1

1.234.800

3 : 3 : 1

411.600

2 : 2 : 2

37.044

5 : 4 :1

123.480

5 : 2 : 2

444.528

4 : 2 : 2

1.111.320

3 : 2 : 2

740.880

5 : 3 : 2

370.440

4 : 4 : 1

411.600

3 : 3 : 2

1.852.200

4 : 4 : 2

308.700

4 : 3 : 2

2.469.600

4 : 3 : 3

514.500

3 : 3 : 3

686.000

4
Farbig

7 : 1 : 1 : 1

1.372

6 : 1 : 1 : 1

38.416

5 : 1 : 1 : 1

172.872

4 : 1 : 1 : 1

192.080

3 : 1 : 1 : 1

48.020

6 : 2 : 1 : 1

86.436

5 : 2 : 1 : 1

1.037.232

4 : 2 : 1 : 1

2.593.080

3 : 2 : 1 : 1

1.728.720

2 : 2 : 1 : 1

129.654

5 : 3 : 1 : 1

432.180

4 : 3 : 1 : 1

2.881.200

3 : 3 : 1 : 1

2.160.900

2 : 2 :2 : 1

1.037.232

5 : 2 : 2 : 1

777.924

4 : 2 : 2 : 1

5.186.160

3 : 2 : 1 : 1

7.779.240

4 : 4 : 1 : 1

360.150

3 : 3 : 2 : 1

8.643.600

2 : 2 : 2 : 2

1.166.886

4 : 3 : 2 : 1

4.321.800

3 : 2 : 2 : 2

5.186.160

4 : 2 : 2 : 2

1.296.540

3 : 3 : 3 : 1

1.200.500

3 : 3 : 2 : 2

3.241.350

0 Buben:

13.123.110

1  Buben

27.627.600

2 Buben

18.648.630

3 Buben

4.736.160

4 Buben

376.740

Zusammengefasst:

 

0
Buben

1
Bube

2
Buben

3
Buben

4
Buben

insgesamt

1 farbig

16

28

44

2 farbig

6.006

48.048

108.108

82.320

17.934

262.416

3 farbig

1.398.852

4.606.784

4.667.544

1.695.792

181.104

12.550.076

4 farbig

11.718.252

22.972.768

13.872.978

2.958.032

177.674

51.699.704

13.123.110

27.627.600

18.648.630

4.736.160

376.740

64.512.240